Question

如图，已知△OFP的面积为m，且

OF

•

FP

=1．
（I）若

1

2

＜m＜

3

2

，求向量

OF

与

FP

的夹角θ的取值范围；
（II）设|

OF

|=

4

3

m，且|

OF

|≥2．若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当

OP

取得最小值时，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据△OFP的面积为m，设向量

OF

与

FP

的夹角为θ，因为

1

2

×|

OF

|×|

FP

|sinθ=m，

OF

×

FP

=1，
∴|

OF

|•|

FP

|cosθ=1，可得tanθ=2m，进而可得答案．
（2）以O为原点，

OF

所在直线为x轴建立直角坐标系，设|

OF

|=c，P点坐标为（x₀，y₀），所以|

OF

|=

4

3

m

1

2

•|

OF

|•|y₀|=

1

2

×

4

3

m×|y0|=m，即|y0|=

3

2

．因为

OF

=（c，0），

FP

=（x₀-c，y₀），

OF

•

FP

=1
所以c(x0-c)=1，∴x0=c+

1

c

所以可得|

OP

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

，
设f(c)=c+

1

c

，判断知f（c）在[2，+∞）上是增函数．
所以当c=2时，f（c）为最小，从而|

OP

|为最小，此时P（

5

2

，

3

2

）．
最终得到答案．

解答：解：（I）∵△OFP的面积为m，设向量

OF

与

FP

的夹角为θ．

1

2

×|

OF

|×|

FP

|sinθ=m ①
∵

OF

×

FP

=1，∴|

OF

|•|

FP

|cosθ=1 ②
由①、②得：tanθ=2m
∵

1

2

＜m＜

3

2

，∴1＜tanθ＜

3

，∴θ∈(

π

4

，

π

3

)
即向量

OF

与

FP

的夹角θ的取值范围为θ∈(

π

4

，

π

3

)
（II）如图，以O为原点，

OF

所在直线为x轴建立直角坐标系
设|

OF

|=c，P点坐标为（x₀，y₀）∵|

OF

|=

4

3

m
∴

1

2

•|

OF

|•|y₀|=

1

2

×

4

3

m×|y0|=m，∴|y0|=

3

2

∵

OF

=（c，0），

FP

=（x₀-c，y₀），

OF

•

FP

=1
∴c(x0-c)=1，∴x0=c+

1

c

∴|

OP

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

设f(c)=c+

1

c

，当c≥2时，任取c₂＞c₁≥2
有f(c2)-f(c1)=c2+

1

c2

-c1-

1

c1

=(c2-c1)+

c1-c2

c1c2

=(c2-c1)(1-

1

c1c2

)
当c₂＞c₁≥2时，

1

c1c2

＜1，(1-

1

c1c2

)＞0，c2-c1＞0
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函数
∴当c=2时，f（c）为最小，从而|

OP

|为最小，此时P（

5

2

，

3

2

）
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

a2-b2=4 25 4a2 + 9 4b2 =1

∴a²=10，b²=6
故椭圆的方程为

x2

10

+

y2

6

=1．

点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的标准方程的求法．属难题．