Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g(x)=

lnx

2x

，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f(x)＞g(x)+

3

4

；
（3）是否存在实数a，使h（x）=f（x）-2x•g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）=x-lnx，x∈（0，e]进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到函数单调性；结合函数单调性即可得到函数的极值；
（2）由题意知，x-lnx＞

lnx

2x

+

3

4

即x-lnx-

lnx

2x

-

3

4

＞0在（0，e]上恒成立，令k（x）=x-lnx-

lnx

2x

-

3

4

，只需使k（x）在（0，e]上的最小值恒大于0即可；
（3）开放性命题，先假设存在实数a，由于h（x）=f（x）-2x•g（x）=ax-2lnx，则h′（x）=a-

2

x

，令h′（x）=0，可得x=

2

a

．然后对a值进行讨论，得到h（x）在（0，e]上的最小值，使其为3，可得a的值；若最小值为3无解，则不存在这样的实数a．

解答：解：由于f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，则f′（x）=a-

1

x

．
（1）当a=1时，f′（x）=1-

1

x

，令f′（x）＞0，得1＜x＜e；令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
则函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，e]，
函数f（x）在x=1处取得极小值且极小值为1．
（2）由（1）f（x）=x-lnx在（0，e]上的最小值为f（1）=1，
∵g(x)=

lnx

2x

，∴g′(x)=

1-lnx

2x2

．
由g′(x)=

1-lnx

2x2

＞0，解得0＜x≤e，
∴g（x）在 （0，e]上为增函数，∴g(x)max=g(e)=

1

2e

．
∵1＞

1

2e

+

3

4

，
∴f(x)＞g(x)+

3

4

．
（3）①当a≤0时，h（x）在（0，e）上是减函数，
∴ae-2=3，a=

5

e

＞0．
②当0＜a＜

2

e

时，h（x）在（0，e]上是减函数，
∴ae-2=3，a=

5

e

＞

2

e

．
③当a≥

2

e

时，f（x）在（0，

2

a

]上是减函数，在（

2

a

，e）上是增函数，
∴a

2

a

-2ln

2

a

=3，a=2

e

，
所以存在实数a=2

e

使h（x）=f（x）-2x•g（x）的最小值是3．

点评：会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．