Question

10．已知直线x+y+t=0与圆x²+y²=2相交于M、N两点，已知O是坐标原点，若|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|≤|$\overrightarrow{MN}$|，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪[$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [-2，2]
• C． [-2，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，2]
• D． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 运用向量的三角形法则和数量积的定义和性质，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$≤0，即有cos∠MON≤0，结合余弦定理可得|MN|≥2，再由弦长公式和点到直线的距离公式，解二次不等式即可得到所求范围．

解答 解：若|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|≤|$\overrightarrow{MN}$|，即为
|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|≤|$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$|，
两边平方可得，${\overrightarrow{OM}}^{2}$+${\overrightarrow{ON}}^{2}$+2$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$≤${\overrightarrow{OM}}^{2}$+${\overrightarrow{ON}}^{2}$-2$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$，
可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$≤0，
即有cos∠MON≤0，
由余弦定理可得，|OM|²|+|ON|²-|MN|²≤0
即为|MN|≥2，
由弦长公式可得2$\sqrt{2-{d}^{2}}$≥2，（d为圆心到直线的距离），
即有d≤1，
即$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$≤1，解得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离问题和弦长公式，同时考查向量的数量积的定义和性质，属于中档题．