题目内容

已知在f（x）=（x+1）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
（1）求n；
（2）求f（96）被10除所得的余数．
【答案】分析：（1）利用二项式系数的性质可知第6项为展开式的中间项，从而可知n的值；
（2）由于f（96）=（96+1）10=（100-3）10，利用二项式定理可知，f（96）被10除得的余数与310除得的余数相同，从而可求答案．
解答：解：（1）∵f（x）=（x+1）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
∴+1=6，
∴n=10…（4分）
（2）∵f（96）=（96+1）10=9710=（100-3）10
=×10010-×1009×3+×1008×32-…-×100×39+•310
∴f（96）被10除得的余数与310除得的余数相同…（10分）
又310=95=（10-1）5=×105-×104+×103-×102+×101-
∴310被10除得的余数为9，
∴f（96）被10除得的余数为9…（14分）
点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，突出考查整除问题，得到f（96）被10除得的余数与310除得的余数相同是关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设g（x）=2x+
1
x
，x∈[
1
4
，4]．
（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
（2）证明g（x）的最小值为g（
2
2
）；
（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，则f1（x）=-1，x∈[-
π
2
，
π
2
]，f2（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，设φ（x）=
g(x)+g(2x)
2
+
|g(x)-g(2x)|
2
，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π2
）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x0的值；
（2）求f（x）的增区间；
（3）若x∈[-π，π]，求f（x）的值域．
已知函数f（x）=2x2-（k2+k+1）x+15，g（x）=k2x-k，其中k∈R．
（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数q(x)=
g(x)x≥0
f(x)x＜0
是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）=q（x1）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（2012•成都一模）已知函数f（x）在[a，b]上连续，定义
f1(x)=f(t)min，x∈[a，b]，a≤t≤x
f2(x)=f(t)max，x∈[a，b]，a≤t≤x
；其中f（x）min（x∈D）表示f（x）在D上的最小值，f（x）max（x∈D）表示f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．有下列命题：
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f1（x）=1，x∈[0，π]；
②若f（x）=2x，x∈[-1，4]，则f2(x)=2x，x∈[-1，4]
③f（x）=x为[1，2]上的1阶收缩函数；
④f（x）=x2为[1，4]上的5阶收缩函数．
其中你认为正确的所有命题的序号为
②③④
②③④
．
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

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