Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x₀的值；
（2）求f（x）的增区间；
（3）若x∈[-π，π]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函数图象确定函数的振幅，周期，利用f（0）=1求出φ，求出f（x）的解析式，y轴右侧的第一个最高点即可求出x₀的值；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求函数f（x）的增区间；
（3）通过x∈[-π，π]，求出

1

2

x+

π

6

的范围，然后利用正弦函数的值域求f（x）的值域．

解答：解：由图象以及题意可知A=2，

T

2

=2π，T=4π，ω=

2π

4π

=

1

2

，
函数f（x）=2sin（

1

2

x+φ），因为f（0）=1=2sinφ，|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
由图象f（x₀）=2sin（

1

2

x₀+

π

6

）=2，所以

1

2

x₀+

π

6

=

π

2

+2kπ k∈Z，
因为在y轴右侧的第一个最高点的坐标分别为（x₀，0），
所以x₀=

2π

3

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

4π

3

+4kπ≤x≤

2π

3

+4kπ，k∈Z，
所以函数的单调增区间为[-

4π

3

+4kπ，

2π

3

+4kπ]  k∈z．
（3）∵x∈[-π，π]，∴

1

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴-

3

2

≤sin（

1

2

x+

π

6

）≤1．
-

3

≤2sin（

1

2

x+

π

6

）≤2．
所以函数的值域为：[-

3

，2]．

点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，阿足协还是的单调增区间的求法，函数的值域的求法，考查计算能力．