Question

设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A、B∈(0，

π

2

)，若b=a•cos（A+B）．
（1）求证：tanB=

tanA

2tan2A+1

；
（2）当tanB取最大值时，求cotC的值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，利用两角和的余弦函数公式及诱导公式化简b=a•cos（A+B）得到即可；
（2）把tanB变形，利用基本不等式求出最大值时tanA的值，然后利用两角和的正切公式求出tan（A+B），利用诱导公式得到tanC即可得到cotC．

解答：解：（1）由正弦定理，sinB=sinA•（cosAcosB-sinAsinB）=sinA•cosA•cosB-sin²AsinB?（1+sin²A）sinB=sinA•cosAcosB?tanB=

sinA•cosA

1+sin2A

=

sinAcosA

2sin2A+cos2A

=

tanA

2tan2A+1

（2）tanB=

1

2tanA+ 1 tanA

≤

1

2 2

(∵A∈(0，

π

2

))
当且仅当2tanA=

1

tanA

即tanA=

2

2

时，tanB的最大值

2

4

此时，tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2 2 + 2 4

1- 2 2 • 2 4

=

2

∵tan(A+B)=-tanC?tanC=-

2

∴cotC=-

2

2

．

点评：考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题，灵活运用两角和与差的正切、余弦函数公式，会进行三角恒等式的证明．