Question

（2013•河东区一模）已知函数f（x）=sinx+cos（x-

π

6

），x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大小．

Answer 1

分析：（1）先展开，再利用辅助角公式化简，即可求f（x）的最大值；
（2）因为b=2af（A-

π

6

），由（1）和正弦定理，化简可得tanA=

3

3

，从而可求A，B，C的大小．

解答：解：（1）f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）=sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx=

3

sin(x+

π

6

)，…（4分）
所以f（x）的最大值

3

．         …（6分）
（2）因为b=2af（A-

π

6

），由（1）和正弦定理，得sinB=2

3

sin²A．…（7分）
又B=2A，所以sin2A=2

3

sin²A，即sinAcosA=

3

sin²A，…（9分）
而A是三角形的内角，所以sinA≠0，故cosA=

3

sinA，∴tanA=

3

3

，…（11分）
所以A=

π

6

，B=2A=

π

3

，C=π-A-B=

π

2

．   …（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查三角函数求值，属于中档题．