Question

【题目】已知函数，其导函数为．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

根据题意，对函数进行求导，得出，再通过对进行分类讨论，得出导数的正负情况，对应得出区间上的单调性，即可求解出答案。

根据题意，列出不等式，利用分离参数的方法，得出对任意实数恒成立，将题目转化为求当时的最小值问题。令，，对进行求导研究其单调性求出最小值，即可得出答案。

解：（1）依题意，，，

①若，则，函数在上单调递增，

②若，令，得.

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

综上所述，

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）依题意，当时，恒成立，即

对任意实数恒成立.

令，，则

，

由（1）可知，当时，在上单调递增，

故，即，得.

所以方程有唯一解，

且当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，所以.