Question

已知函数，且．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若，证明:.

 

Answer 1

（1）函数在上单调递增，在上单调递减.；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）对f（x）求导数，得f'（x）=，再分a的正负讨论a、a+a2和a2的大小关系，即可得到f（x）单调性的两种情况，得到函数f（x）的单调区间；（2）原不等式进行化简，等价变形得．因此转化为证明函数在区间内单调递减，而，通过研究分子对应二次函数在区间上的取值，可得h'（x）＜0在x∈上恒成立，因此在区间内是减函数，从而得到原不等式成立．

试题解析：【解析】
（1）由题，

.

令，因为故.

当时，因且所以上不等式的解为,

从而此时函数在上单调递增.

当时，因所以上不等式的解为，

从而此时函数在上单调递增.

同理此时在上单调递减.

（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明，

只须证明.

因为所以原不等式只须证明，

函数在内单调递减. 8分

由（1）知，

因为，

我们考察函数,.

因，

所以.

从而知在上恒成立，

所以函数在内单调递减.

从而原命题成立

（方法二）要证原不等式成立，只须证明，

只须证明.

又，

设，

则欲证原不等式只须证明函数在内单调递减

由（1）可知

.

因为，所以在上为增函数，

所以.

从而知在上恒成立，

所以函数在内单调递减.

从而原命题成立.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.不等式的证明．