Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）设函数f（x）=sinx+2sinAcosx将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心及单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosA=，再由已知 可得sinA=，
从而求得 A 的值．
（2）由（1）可得函数f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得函数y=g（x）=
sin（2x-），由此求得函数g（x）的对称中心．令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，
可得函数y=g（x）的单调递增区间．
解答：解：（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosA=，再由已知 可得
tanA=，sinA=，∴A=，或 A=．
（2）由（1）可得函数f（x）=sinx+2sinAcosx=sin（x+），
将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，可得y=sin（2x+）的图象；
把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-） 的图象．
令 2x-=kπ，k∈z，可得x=+，k∈z，故函数g（x）的对称中心为（+，0），k∈z．
令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函数y=g（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，对称性，余弦定理的应用，属于中档题．