Question

（（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅲ）∵在上是减函数，

  ∴时，； 时，，即， ……6分

设

①当＜0时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以，故在内是减函数． 

当时，，因为，所以＜0，＜0，

    此时，在内是减函数．   

故当时，在上单调递减，不合题意；

……………………8分

②当0＜＜时，由，

所以．

又由（Ⅱ）知当，函数在上是增函数，

 ∴＜1，

不合题意；     ………10分

③当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，，

又在上是减函数，

故只需，，

而，，

即  ， 解得 ，

所以实数的取值范围是．                ……………………12分

 

【解析】略