Question

17．已知二次函数f（x）=x²+4x，三次函数g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1．
（1）是否存在实数b，使得函数g（x）的图象经过四个象限？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）记h（x）=f（x）+g（x），且h（x）的图象在（0，h（0））处的切线平行于直线y=x+2，设函数m（x）=$\frac{4}{3}$x³-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+7x+c-2，若函数h（x）的图象与m（x）的图象恰有三个不同交点，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若存在实数b，使得函数g（x）的图象经过四个象限，则函数g（x）的两个极值异号，进而求出实数b的取值范围；
（2）根据h（x）的图象在（0，h（0））处的切线平行于直线y=x+2，求出b值，并构造函数F（x）=m（x）-h（x），若函数h（x）的图象与m（x）的图象恰有三个不同交点，则F（x）的两个极值异号，解得实数c的取值范围．

解答 解：（1）∵三次函数g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1．
∴g′（x）=bx²-2bx-3b．
令g′（x）=0，则x=-1，或x=3，
若存在实数b，使得函数g（x）的图象经过四个象限，
则g（-1）•g（3）＜0，即（$\frac{5}{3}b+1$）（-9b+1）＜0，
解得：b∈（-∞，$-\frac{3}{5}$）∪（$\frac{1}{9}$，+∞）
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{3}$bx³+（1-b）x²+（4-3b）x+1．
∴h′（x）=bx²+（2-2b）x+4-3b．
∵h（x）的图象在（0，h（0））处的切线平行于直线y=x+2，
∴h′（0）=4-3b=1，
解得：b=1，
此时h（x）=$\frac{1}{3}$x³+x+1．
∵函数h（x）的图象与m（x）的图象恰有三个不同交点，
∴F（x）=m（x）-h（x）=（$\frac{4}{3}$x³-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+7x+c-2）-（$\frac{1}{3}$x³+x+1）=x³-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+6x+c-3的两个极值异号，
∵F′（x）=3x²-9x+6=0时，x=1或x=2，
∴F（1）•F（2）=（c-$\frac{1}{2}$）（c-1）＜0，
解得：c∈（$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．