题目内容
已知向量| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的自变量x的取值集合；
（II）当x0∈(0，
| π |
| 8 |
4
| ||
| 5 |
| π |
| 3 |
分析：（Ⅰ）通过向量关系求出数量积，然后利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为：
sin(2x+
)，即可求函数f（x）的最大值，借助正弦函数的最大值求出相应的自变量x的取值集合；
（II）当x0∈(0，
)且f(x0)=
时，直接得到sin(2x0+
)=
，求出cos(2x0+
)=
，化简f(x0+
)的表达式，利用两角和的正弦函数，整体代入sin(2x0+
)=
，cos(2x0+
)=
，求得f(x0+
)的值．
| 2 |
| π |
| 4 |
（II）当x0∈(0，
| π |
| 8 |
4
| ||
| 5 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
解答：（Ⅰ）∵
=(sinx，cosx+sinx)，
=(2cosx，cosx-sinx)，
∴f(x)=
•
=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）=2sinxcosx+cos2x-sin2x（1分）
=sin2x+cos2x（3分）
=
sin(2x+
)（4分）
∴函数f（x）取得最大值为
．（5分）
相应的自变量x的取值集合为{x|x=
+kπ（k∈Z）}（7分）
（II）由f(x0)=
得
sin(2x0+
)=
，即sin(2x0+
)=
因为x0∈(0，
)，所以2x0+
∈(
，
)，从而cos(2x0+
)=
（9分）
于是f(x0+
)=
sin(2x0+
+
)=
sin[(2x0+
)+
]=
sin[(2x0+
)+
]=
[sin(2x0+
)cos
+cos(2x0+
)sin
]
=
(
×
+
×
)=
（14分）
| a |
| b |
∴f(x)=
| a |
| b |
=sin2x+cos2x（3分）
=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴函数f（x）取得最大值为
| 2 |
相应的自变量x的取值集合为{x|x=
| π |
| 8 |
（II）由f(x0)=
4
| ||
| 5 |
| 2 |
| π |
| 4 |
4
| ||
| 5 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
因为x0∈(0，
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
于是f(x0+
| π |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
=
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
4
| ||||
| 10 |
点评：本题是中档题，考查了向量的数量积的计算，二倍角和两角和的正弦函数，三角函数的最值，考查转化思想，整体代入思想，合理应用角的变形，二倍角公式的转化，是本题的难点，注意总结应用．
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