Question

已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．

（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；

（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

Answer 1

解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．（2分）化简此式，得（m²﹣1）x²﹣（2m﹣1）²+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．（4分）∴．（5分）

（2）当a＞1时，函数上是单调减函数．理由：令．

易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小，（6分）

故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小．（8分）

于是，当a＞1时，函数上是单调减函数．（10分）

（3）∵A=[a，b）⊆D，∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）

∴依据（2）的道理，当0＜a＜1时，函数上是增函数，（12分）

即，解得．（14分）

若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1）∴必有b=1．（16分）因此，所求实数a、b的值是．