Question

在非负数构成的数表

中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于．如果的前三列构成的数表

满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个
使得
⑶．
求证：
（ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列．
（ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表

仍然具有性质．

Answer 1

（ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于数表具有性质，在⑶中取，则存在某个使得．矛盾．
（ⅱ）由抽届原理知
，，
中至少有两个值取在同一列．不妨设
，．
由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是．同样，第二列中也必含某个，，2．不妨设．于是，即是数表中的对角线上数字．

记，令集合
．
显然且1，2．因为，，，所以．
故．于是存在使得．显然，，2，3．
下面证明数表

具有性质．
从上面的选法可知，．这说明
，．
又由满足性质．在⑶中取，推得，于是．下证对任意的，存在某个，2，3使得．假若不然，则，，3且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质．
下证唯一性．设有使得数表

具有性质，不失一般性，我们假定

⑷

．
由于，及（ⅰ），有．又由（ⅰ）知：或者，或者．
如果成立，由数表具有性质，则
，
⑸，
．
由数表满足性质，则对于至少存在一个使得．由及⑷和⑹式知，，．于是只能有．类似地，由满足性质及可推得．从而．