Question

数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₃=25．
（1）求a₁，a₂
（2）是否存在实数t，使得b_n=

1

2n

（a_n+t）（n∈N^*），且{b_n}为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2）中，令n=3求出a₂，令n=2求出a₁，
（2）设存在t满足条件，则由{b_n}为等差数列，设

1

2n

（a_n+t）-

1

2n-1

（a_n-1+t）=d，整理得出数列的递推关系式，与a_n=2a_n-1+2ⁿ-1比较作答．

解答：解：（1）a₃=2a₂+2³-1=25，∴a₂=9．
a₂=2a₁+2²-1=9，∴a₁=7
（2）设存在t满足条件，则由{b_n}为等差数列，设

1

2n

（a_n+t）-

1

2n-1

（a_n-1+t）=d，则

1

2n

a_n-

1

2n-1

a_n-1-

t

2n

=d．整理得出a_n-2a_n-1-t=2ⁿd，而a_n-2a_n-1+1=2ⁿ，
所以d=1，t=-1．

点评：本题考查数列递推公式的灵活应用，考查逻辑推理，运算求解能力．