Question

已知函数f（x）=x²-（1+2a）x+alnx（a为常数）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（2）当a＞0时，讨论函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性，并写出相应的单调区间．

Answer 1

（1）当a=-1时，f（x）=x²+x-lnx，则f′(x)=2x+1-

1

x

∴f（1）=2，f′（1）=2
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的方程为y-2=2（x-1）
即y=2x；
（2）由题意得，f′(x)=2x-(1+2a)+

a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

(x＞0)
由f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2=a
①当0＜a＜

1

2

时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或

1

2

＜x＜1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜

1

2

∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和(

1

2

，1)，单调减区间是(a，

1

2

)；
②当a=

1

2

时，f′(x)= 

(2x-1)2

2x

≥0，当且仅当x=

1

2

时，f′（x）=0，
所以函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数；
③当

1

2

＜a＜ 1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或a＜x＜1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得

1

2

＜x＜a
∴函数f（x）的单调增区间是（0，

1

2

）和（a，1），单调减区间是(

1

2

，a)；
④当a≥1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜

1

2

；
令f′（x）＜0，x＞0，可得

1

2

＜x＜1
∴函数f（x）的单调增区间是（0，

1

2

），单调减区间是(

1

2

，1)．