Question

【题目】如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直， , ，点是线段的中点.

（1）求证： 面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析：⑴三角形中位线定理可得，且，即可证明是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明面；

⑵建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出的坐标，求得平面和平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，用空间向量求得平面内的夹角即可得到答案

解析：（1）证明：取中点,连则,且

∴是平行四边形,∴

∵平面, 平面,∴平面

（2）如图，建立空间直角坐标系，

则

因为点是线段的中点，

则， ，

又.

设是平面的法向量，

则.

取，得，

即得平面的一个法向量为.

由题可知， 是平面的一个法向量.

设平面与平面所成锐二面角为，

因此， .