Question

已知函数f（x）=x³+ax²+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函数．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先利用奇函数的定义g（-x）=-g（x）求出a，c的值；
（2）求导数令其为0，判断根左右两边的符号，求出函数的单调性．注意对参数的讨论．

解答：解：（Ⅰ）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R，都有g（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．
又f（x）=x³+ax²+3bx+c
所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2．
所以

a=-a c-2=-c+2

解得a=0，c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³+3bx+2．
所以f'（x）=3x²+3b（b≠0）．
当b＜0时，由f'（x）=0得x=±

-b

．x变化时，f'（x）的变化情况如下：
x∈(-∞，-

-b

)，时f′（x）＞0
x∈(-

-b

，

-b

)，时f′（x）＜0
x∈(

-b

，+∞)，时f′（x）＞0
所以，当b＜0时，函数f（x）在(-∞，-

-b

)上单调递增，
在(-

-b

，

-b

)上单调递减，在(

-b

，+∞)上单调递增．
当b＞0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性，利用导数求函数的单调区间的方法．注意：含参数的函数求单调性时一般需要讨论．