Question

设曲线y=（x-2）²（0＜x＜2）上动点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为

64

27

．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义得到直线的斜率，写出切线的方程，表示出△AOB的面积，再利用导数研究其单调性即可得出．

解答：解：设切点P（x₀，y₀），（0＜x₀＜2）．
∵y′=2（x-2），∴切线的斜率为2（x₀-2）．
切线方程为y-(x0-2)2=2(x0-2)(x-x0)．
令y=0，解得x=

x0+2

2

．∴A(

x0+2

2

，0)．
令x=0，解得y=4-

x

2 0

．∴B(0，4-

x

2 0

)．
∴S_△AOB=

1

2

|AO||OB|=

1

2

×

|x0+2|

2

×|4-

x

2 0

|=

1

4

(-

x

3 0

-2

x

2 0

+4x0+8)．
令f(x0)=-

x

3 0

-2

x

2 0

+4x0+8，则f′(x0)=-3

x

2 0

-4x0+4=-（3x₀-2）（x₀+2）．
令f^′（x₀）=0，又0＜x₀＜2，解得x0=

2

3

．列表如下：
由表格可得到：当x=

2

3

时，f（x₀）取得极大值，也即最大值．
此时，S_△AOB取得最大值，

1

4

[-(

2

3

)3-2(

2

3

)2+4×(

2

3

)+8]=

64

27

．
故答案为

64

27

．

点评：熟练掌握导数的几何意义、切线的方程、三角形的面积公式、利用导数研究其单调性是解题的关键．