Question

设命题p：曲线y=x³-2ax²+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题q：直线y=x+a与曲线y=x²-x+2有两个公共点；若命题p和命题q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：若命题p：曲线y=x³-2ax²+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角为真命题，则他的导函数大于0恒成立，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式可以求出满足条件的实数a的取值范围，及不满足条件的实数a的取值范围；若命题q：直线y=x+a与曲线y=x²-x+2有两个公共点，则方程x²-2x+2-a=0有两个不等根，由二次方程根的个数与△的关系，又可造一个关于a的不等式，解不等式可以求出满足条件的实数a的取值范围，及不满足条件的实数a的取值范围；根据命题p和命题q中有且只有一个是真命题，分类讨论即可得到答案．

解答：解：若命题p为真命题，则y′=3x²-4ax+2a＞0对x∈R恒成立，…（2分）
∴△₁=（4a）²-4×3×2a=8a（2a-3）＜0，得0＜a＜

3

2

；…（5分）
若命题q为真命题，则方程组

y=x+a y=x2-x+2

有两组不同的解，即x²-2x+2-a=0有两个不等根，
∴△₂=4-4（2-a）=4（a-1）＞0，得a＞1；…（10分）
那么，命题p为真命题而命题q为假命题时，即0＜a＜

3

2

且a≤1，
得，0＜a≤1；…（12分）
命题p为假命题而命题q为真命题时，即

a≤0或a≥ 3 2 a＞1

，得，a≥

3

2

；
∴当命题p和命题q中有且只有一个是真命题时，a∈(0，1]∪[

3

2

，+∞)．…（14分）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，直线的倾斜角，直线与圆锥曲线的关系，其中求出命题p与命题q成立及不成立时，数a的取值范围是解答本题的关键．