Question

如图所示的平面直角坐标系xoy中，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若d=

2

|PD|．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）直线l过Q（0，2）且与轨迹P交于M、N两点，若以MN为直径的圆过原点O，求出直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由d=

2

|PD|，知

|PD|

d

=

2

2

∈(0，1)，故点P的轨迹是以D为焦点，l为相应准线的椭圆，由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

-c=1，能求出点P的轨迹方程．
（2）依题意，设直线l为：y=kx+2，（k≠0，且k存在）由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直线l与轨迹P交于M、N两点，知k＞

6

2

，或k＜-

6

2

，且M、N的横坐标x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的两个解，于是有：xM+xN=

6

1+2k2

，xM•xN=-

8k

1+2k2

，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（1）∵d=

2

|PD|，∴

|PD|

d

=

2

2

∈(0，1)，
∴点P的轨迹是以D为焦点，l为相应准线的椭圆，
由e=

c

a

=

2

2

，又

a2

c

-c=1，
解得a=

2

，c=1，于是b=1，
以CD所在直线为x轴，以CD与圆D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系，
∴所求点P的轨迹方程为

x2

2

+y2=1．
（2）依题意，设直线l为：y=kx+2，（k≠0，且k存在）
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵直线l与轨迹P交于M、N两点，
∴△=64k²-24（1+2k²）＞0，
即2k²-3＞0，∴k＞

6

2

，或k＜-

6

2

，
且M、N的横坐标x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的两个解，
于是有：xM+xN=

6

1+2k2

，xM•xN=-

8k

1+2k2

又∵MN为直径的圆过原点在椭圆上，
∴

OM

•

ON

=0，
即x_M•x_N+y_M•y_N=0，
即：x_M•x_N+（kx_M+2）（1+2kx_N）=0
∴

6(1+k2)

1+2k2

-

18k2

1+2k2

+4=0，解得：k=±

5

∴直线l方程为

5

x+y-2=0或

5

x-y+2=0…（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查运算求解能力和等价转化能力．综合性强，难度大，是高考的重点．