Question

已知f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函数．
（I）求a，b的值；
（II）解不等式f（-3x²-2x）+f（2x²+3）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函数的性质得f（0）=0，可解得b值，再由f（-1）=-f（1）可得a值；
（Ⅱ）先判断函数的单调性，利用奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）为奇函数，得f（0）=0，即

1+b

2+a

=0，解得b=-1，
由f（-1）=-f（1）即

2-1-1

1+a

=-

2-1

22+a

，解得a=2，
经检验知a=2，b=-1时f（x）为奇函数，
∴a=2，b=-1．．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2x-1

2x+1+2

=

1

2

-

1

2x+1

，
故f（x）在R上单调递增，
原不等式可化为f（2x²+3）＜-f（-3x²-2x）=f（3x²+2x），
因为f（x）单调递增，所以2x²+3＜3x²+2x，即x²+2x-3＞0．
解得x＞1或x＜-3．
故不等式的解集为{x|x＜-3或x＞1}．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，关于抽象不等式的求解关键是利用性质转化为具体不等式解决．