题目内容
已知双曲线C：x2-
=1，P为C上任意一点；
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A（4，0），求|PA|的最小值．
| y2 | 4 |
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A（4，0），求|PA|的最小值．
分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，设点利用点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）表示出|PA|，利用配方法，即可求得结论．
（2）表示出|PA|，利用配方法，即可求得结论．
解答：（1）证明：双曲线的渐近线方程为：y=±2x，
设P（x，y），则x2-
=1，
∴P到两条渐近线的距离乘积=
•
=
=
；
（2）解：|PA|=
=
=
，
∵x≥1或x≤-1
∴当x=1时，|PA|min=3．
设P（x，y），则x2-
| y2 |
| 4 |
∴P到两条渐近线的距离乘积=
| |2x+y| | ||
|
| |2x-y| | ||
|
| |4x2-y2| |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）解：|PA|=
| (x-4)2+y2 |
| 5x2-8x+12 |
5(x-
|
∵x≥1或x≤-1
∴当x=1时，|PA|min=3．
点评：本题考查双曲线的性质，考查点到直线的距离公式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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| y2 |
| b2 |
A、（1，
| ||
| B、（-1，0）∪（0，1） | ||
| C、（0，1） | ||
| D、（1，+∞） |
请考生在（1）（2）中任选一题作答，每小题12分．如都做，按所做的第（1）题计分．