Question

已知函数f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，g（x）=-3^x-2，
（1）若f（x）在区间（3，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围；
（3）当a=

1

4

时，判断f（x）与g（x）的交点个数并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得有-

-(2a-1)

2

≤3，由此解得 a的取值范围．
（2）当f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 与非负x轴没有交点时，求得a的取值范围，再取补集，即得所求的a的取值范围．
（3）当a=

1

4

时，求得f（x）的值域为[-2，+∞），而函数g（x）=-3^x-2 的值域为 （-∞，-2），故函数f（x）的图象和函数g（x）的图象无交点．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，若f（x）在区间（3，+∞）上单调递增，则有-

-(2a-1)

2

≤3，解得 a≤

5

2

，
故a的取值范围为（-∞，

5

2

]．
（2）当f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 与非负x轴没有交点时，
则△＜0，或

f(0)＞0 - -(2a-1) 2 ＜0

，解得a＜-

2

或a＞

9

4

，故当f（x）与非负x轴至少有一个交点时，应有 -

2

≤a≤

9

4

，
故a的取值范围为[-

2

，

9

4

]．
（3）当a=

1

4

时，f（x）=x²+

1

2

x-

31

6

=(x+

1

4

)2- 2，故f（x）的值域为[-2，+∞）．
而函数g（x）=-3^x-2 的值域为 （-∞，-2），故函数f（x）的图象和函数g（x）的图象无交点．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，方程根的存在性及个数判断，属于基础题．