Question

已知向量，，A，B，C为锐角△ABC的内角，其对应边为a，b，c．
（Ⅰ）当取得最大值时，求角A的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，当a=时，求b²+c²的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据向量数量积的公式，化简得=cosA+2sin，结合二倍角的余弦公式化简得=-（sin-）²+，利用二次函数的性质可得取得最大值时，sin=，结合A为三角形的内角算出A=；
（II）由A=且a=，利用余弦定理化简得b²+c²-bc=3，根据基本不等式bc≤（b²+c²），算出b²+c²≤6．在根据三角形中b+c＞a，即可得出b²+c²的取值范围．
解答：解：（I）∵向量，，
∴=2sin-cos（B+C）
=cosA+2sin=-2sin²+2sin+1=-（sin-）²+
因此，当取得最大值时，sin=，
结合A为三角形的内角，可得=，得A=；
（II）在（Ⅰ）成立的条件下，A=
∵a=，∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=3
因此，b²+c²-3=bc≤（b²+c²），可得b²+c²≤6
当且仅当b=c=时，等号成立
又∵△ABC中，b+c＞a
∴3＜b²+c²≤6，即b²+c²的取值范围（3，6]．
点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求角A的大小并求b²+c²的取值范围，着重考查了向量数量积的坐标公式、余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．