Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

解：由已知函数的定义域均为,且.

（Ⅰ）函数

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

当且时,;当时,.

所以函数的单调减区间是,增区间是.  ………………3分

（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为．       …………………………6分

（Ⅲ）命题“若使成立”等价于

“当时，有”．        

由（Ⅱ），当时，，． 

问题等价于：“当时，有”．      ………………………8分

当时，由（Ⅱ），在上为减函数，

则=，故．      

当0<时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，=，．

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，得．                         …………………………12分[Z