题目内容

5．抛物线x2=2y离点A（0，a）（a＞0）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（　　）
A．a＞0B．a≥1C．0＜a≤$\frac{1}{2}$D．0＜a≤1

分析 将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．

解答 解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，
则点P离点A（0，a）的距离的平方为
AP2=x2+（y-a）2=x2+y2-2ay+a2，
∵x2=2y，
∴AP2=2y+y2-2ay+a2
=y2+2（1-a）y+a2（y≥0）
∴对称轴为y=a-1，
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，
∴a-1≤0，解得0＜a≤1．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，故函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．

练习册系列答案
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15．已知椭圆C的中心在坐标原点且经过点A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1）．
（1）求椭圆C的标准方程并求其离心率；
（2）斜率为1的直线l交椭圆于P，Q两点，M是直线l与x轴的交点，且有$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，求直线l的方程．
16．已知函数f（x）=ex+ax
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值；
（3）若对于任意x≥0，f（x）≥e-x恒成立，求a的取值范围．
13．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和两条平行线l1，l2，l1过原点O分别交曲线C和C的准线于点P，Q，l2过曲线C的焦点F，交C于点A，B．
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（Ⅱ）求证：|FA|•|FB|=|OP|•|OQ|．
20．平面上三个力为F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态，它们的大小分别为2N，3N，5N，则F1、F2的夹角为0°．
10．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{4}$），且f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）内有最大值，无最小值，则ω=$\frac{4}{5}$，或$\frac{52}{5}$，或20．
17．已知集合A={2014，2015}，非空集合B满足A∪B={2014，2015}，则满足条件的集合B的个数是（　　）
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14．已知A（5，-4），B（-1，4），则|$\overrightarrow{AB}$|=10．
18．已知sinα=$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（Ⅰ）求sin（α-$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求tan2α的值．

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