Question

【题目】已知平行四边形中，，，，是线段的中点，现沿进行翻折，使得与重合，得到如图所示的四棱锥.

（1）证明：平面；

（2）若是等边三角形，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用余弦定理求得的长，由此利用勾股定理证得，从而得到、，由此证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（1）证明：∵是线段的中点，∴，

在中，由余弦定理得，

，

∴，∵，

∴，∴，，，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）取的中点，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系.

设轴与交于点，

∵，∴，

易知，∴，

则，，，，

，，，，

∵平面，

∴可取平面的法向量，

设平面的法向量，平面和平面所成的锐二面角为，

则，∴，得，

令，则，从而，

故平面和平面所成的锐二面角的余弦值为.