Question

【题目】已知函数f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-bx， （b为常数）。

（1）函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；

（2）若函数h(x)=f(x)+g(x)在定义域上不单调，求实数b的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，从而可得 ，点斜式求得切线方程，根据判别式为零求出 的值即可；（2）求出 的导数，若函数在定义域内不单调，可知在上有解，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可.

试题解析：（1）因为，所以，因此，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

由得.

由，得.（还可以通过导数来求）.

（2）因为h(x)=f(x)+g(x)=lnx+0.5x2-bx(x>0) ，

所以

若函数在定义域内不单调，则

可知在上有解，

因为，设，因为，

则只要解得，

所以的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及二次函数的性质，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.