Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=3， AD=1， E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：

（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；

（2）证明：E G ⊥D F。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，由得 故点G点的坐标为故，所以。 即证得：

【解析】

试题分析：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。

  

则A（0，0）．B（3，0）．C（3，1）．

D（0，1）．E（1，0）．F（2，0）。  1分

(1)设M(x,y), 由题意知  2分

∴  3分

两边平方化简得：，即    5分

即动点M的轨迹为圆心（4,1），半径为2的圆，

∴动点M的轨迹围成区域的面积为    6分

（2）由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，    7分

由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，    8分

由得 故点G点的坐标为。    10分

又点E的坐标为（1，0），故，      12分

所以。 即证得：       13分

考点：动点的轨迹及直线垂直的判定

点评：求动点的轨迹方程的步骤：建系设点，找到动点满足的关系式并坐标化，化简得方程，验证是否有不满足要求的点。判定两线垂直可利用坐标法判定直线斜率之积为