Question

13．如图，已知四棱锥A-CBB₁C₁的底面为矩形，D为AC₁的中点，AC⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅰ）证明：AB∥平面CDB₁；
（Ⅱ）若AC=BC=1，BB₁=$\sqrt{3}$．
（1）求BD的长；
（2）求B₁D与平面ABB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BC₁交B₁C于E，连结DE，由三角形中位线定理可得DE∥AB，再由线面平行的判定可得AB∥平面CDB₁；
（Ⅱ）（1）由AC⊥平面BCC₁B₁，得BC⊥AC，再由线面垂直的判定可得BC⊥平面ACC₁，进一步得到BC⊥CD，然后求解直角三角形可得$BD=\sqrt{2}$；
（2）依题意知AC、BC、CC₁两两互相垂直，以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC₁为y轴建立空间直角坐标系如图示，求出平面ABB₁ 的一个法向量，则B₁D与平面ABB₁所成的角的正弦值可求．

解答 解：（Ⅰ）证明：连结BC₁交B₁C于E，连结DE，
∵D、E分别为AC₁和BC₁的中点，
∴DE∥AB，
又∵DE?平面CDB₁，AB?平面CDB₁，
∴AB∥平面CDB₁；
（Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴BC⊥AC，
又∵BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁，
∵CD?平面ACC₁，
∴BC⊥CD，
在Rt△BCD，∵BC=1，$CD=\frac{1}{2}A{C_1}=\frac{1}{2}\sqrt{A{C^2}+{C_1}{C^2}}=1$，
∴$BD=\sqrt{2}$；
（2）依题意知AC、BC、CC₁两两互相垂直，
以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC₁为y轴建立空间直角坐标系如图示，
得B（1，0，0），${B_1}（1，\sqrt{3}，0）$，${C_1}（0，\sqrt{3}，0），A（0，0，1）$，$D（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，
故$\overrightarrow{{B_1}D}=（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AB}=（1，0，-1）$，$\overrightarrow{B{B_1}}=（0，\sqrt{3}，0）$，
设平面ABB₁ 的一个法向量为$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AB}，\overrightarrow m⊥\overrightarrow{B{B_1}}$，得$\left\{\begin{array}{l}a-c=0\\ \sqrt{3}b=0.\end{array}\right.$，令c=1，得$\overrightarrow m=（1，0，1）$，
设B₁D与平面ABB₁所成的角为θ，则$sinθ=\frac{{|\overrightarrow{{B_1}D}•\overrightarrow m|}}{{|\overrightarrow{{B_1}D}||\overrightarrow m|}}$=$|\frac{{-1+\frac{1}{2}}}{{\sqrt{2}•\sqrt{2}}}|=\frac{1}{4}$，
即B₁D与平面ABB₁ 所成的角的正弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．