Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点在x轴上，过点（1，

1

2

 ）作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（　　）

• A．

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• B．

  x2

  4

  +

  y2

  5

  =1
• C．

  x2

  5

  +

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  9

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

分析：设过点（1，

1

2

 ）的圆x²+y²=1的切线为l，根据直线的点斜式，结合讨论可得直线l分别切圆x²+y²=1相切于点A（1，0）和B（0，2）．然后求出直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程．

解答：解：设过点（1，

1

2

 ）的圆x²+y²=1的切线为l：y-

1

2

=k（x-1），即kx-y-k+

1

2

=0
①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x²+y²=1相切于点A（1，0）；
②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d=

|-k+ 1 2 |

k2+1

=1，解之得k=-

3

4

，
此时直线l的方程为y=-

3

4

x+

5

4

，l切圆x²+y²=1相切于点B（

3

5

，

4

5

）；
因此，直线AB斜率为k₁=

0- 4 5

1- 3 5

=-2，直线AB方程为y=-2（x-1）
∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．
椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

=1
故选C

点评：本题给出过定点直线与单位圆相切于A、B两点，直线AB过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．