Question

16．已知两点A（1，-2），B（-4，-2），以下四条曲线：
①4x+2y=3，②x²+y²=3，
③x²+2y²=3，④x²-2y=3．
其中存在点P，使|PA|=|PB|的曲线有①②③④．（填写正确的命题的序号）

Answer 1

分析 ①假设存在点P（x，$\frac{3-4x}{2}$），使|PA|=|PB|，则$\sqrt{（x-1）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$=$\sqrt{（x+4）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$，化简解出即可．同理即可判断出②③④是否满足条件．

解答 解：①假设存在点P（x，$\frac{3-4x}{2}$），使|PA|=|PB|，则$\sqrt{（x-1）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$=$\sqrt{（x+4）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$，化为2x=-3，解得$x=-\frac{3}{2}$，y=$\frac{9}{2}$，因此存在点P$（-\frac{3}{2}，\frac{9}{2}）$．
同理可得：②存在点P$（-\frac{3}{2}，±\frac{\sqrt{3}}{2}）$，满足条件；
③存在点P$（-\frac{3}{2}，±\frac{\sqrt{6}}{4}）$，满足条件；
④存在点P$（-\frac{3}{2}，-\frac{3}{8}）$，满足条件．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了两点之间的距离公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．