Question

设函数 ．

(1) 当时,求函数的单调区间；

(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 在上单调递增

(2) 当时，的最小值,最大值

【解析】

(1)当时 

,在上单调递增.

（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 

（i）当，即时，，在上单调递增，

从而当时， 取得最小值 ,

当时， 取得最大值.

（ii）当，即时，令

解得：,注意到,

(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)

 

 

的最小值,

的最大值

综上所述，当时，的最小值,最大值

解法2（2）当时，对，都有，

故

故，而 ，

所以 ，

(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助求导，通过对参数K的正负讨论和判别式的讨论进行分析求解最值.

【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.