Question

已知函数．
（1）若（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2≥0对|x|≤1恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：对于正数a、b、μ，恒有f[]-f（）≥-．

Answer 1

（1）解：令g（x）=（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2，
∵g（-1）=e^a＞0，且对称轴
所以△=e^2a-4（e^2a-4）≤0
∴3e^2a≥16
∴
（2）证明：令
=
所以函数h（x）在（0，+∞）上是减函数
现证明
只需证明
只需证明a²+μ²b²+2μab≤a²+μb²+μa²+μ²b²
2μab≤μb²+μa²显然成立
∴
即有f[]-f（）≥-
分析：（1）构造函数g（x）=（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2，确定函数的对称轴，利用判别式，即可求出a的取值范围；
（2）构造函数，证明函数h（x）在（0，+∞）上是减函数，将要证明的问题转化为证明，即可得结论．
点评：本题以函数为载体，考查恒成立问题，考查导数的运用，同时考查了分析法证明不等式，综合性强．