Question

5．已知O是边长为1的正三角形ABC的中心，则（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根据三角形的重心的性质及向量加法平行四边形法则、向量数乘的几何意义，根据条件进行向量数量积的运算即可求出

解答 解：根据重心的性质，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$），
又|$\overrightarrow{CA}$|=|$\overrightarrow{CB}$|=1，∠BCA=60°；
∴（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{9}$（${\overrightarrow{CA}}^{2}$-$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$-2${\overrightarrow{CB}}^{2}$）=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{2}$-2）=-$\frac{1}{6}$，
故答案为：-$\frac{1}{6}$．

点评 考查三角形重心的概念及性质，等边三角形的概念，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．