Question

10．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线且交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|=（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由题意，过抛物线焦点的直线L斜率存在且不等于0，由点斜式设出L的直线方程，与抛物线方程组成方程组，消去未知数y，得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和线段AB中点的横坐标，得k的值，再由线段长度公式求出|AB|的大小．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
设过F点的直线L为：y=k（x-1），且k≠0；
∴由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$得：
k²（x-1）²=4x，
即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由根与系数的关系，得：
x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=4，x₁x₂=1；
∴k²=2，
∴线段AB的长为：
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|
=$\sqrt{3}$$\sqrt{（{x}_{1}{+x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{3}$×$\sqrt{{4}^{2}-4}$=6．
故选：B．

点评 本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，线段中点坐标通常和根与系数的关系相联系，从而简化解题过程．