Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若=（sin²，1），=（cos2A+，4），且∥．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）当a=，S_△ABC=时，求边长b和角B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）△ABC中，利用共线向量的坐标运算可求得cosA=，从而可求角A；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式与余弦定理，通过解关于b，c的方程组即可求得边长b和角B的大小．
解答：解：（Ⅰ）∵∥，
∴4-cos2A-=0，
∴2[1-cos（B+C）]-cos2A-=0，
∴2+2cosA-（2cos²A-1）-=0，整理得：（2cosA-1）²=0，
∴cosA=，又A∈（0，π），
∴A=．
（Ⅱ）∵a=，A=，S_△ABC=，
∴S_△ABC=bcsinA=bc×=，
∴bc=2①
由余弦定理a²=b²+c²-2bcconA=b²+c²-2×2×=3得：b²+c²=5②
联立①②得：或．
∴若b=1，c=2，则△ABC为c是斜边长的直角三角形，故B=；
若若b=2，c=1，则△ABC为b是斜边长的直角三角形，故B=．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理与三角形面积的综合应用，考查方程思想与分类讨论思想，属于中档题．