Question

【题目】如图，在直角坐标中，设椭圆：的左右两个焦点分别为，，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，经过点且斜率为，直线与椭圆有两个不同的和交点，请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）椭圆C的方程为；（2）不存在常数，使得向量与共线，理由见解析。

【解析】

试题分析：

(1)由题意结合椭圆的定义有：，在中应用勾股定理可得，结合可得，则椭圆的方程为.

(2)当直线的斜率不存在时，不满足题意；

当直线斜率存在时：设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，由判别式大于零可得．设,由韦达定理可得 ，，而，则原问题等价于．联立方程可得．而，故不存在常数，使得向量与共线．

试题解析：

(1)由椭圆定义可知.

由题意,.

又由△可知，,，

又，得.

椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意；

直线斜率存在时，设直线的方程为，

代入椭圆方程，得．

整理，得①

因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，

解得．

设,则＝,

由①得②

又③

因为，所以．

所以与共线等价于．

将②③代入上式，解得．

因为

所以不存在常数，使得向量与共线．