题目内容

函数y=
x
+
3-x
的最大值为
 
．
分析：本题可用均值不等式的结论来解，即：若a，b＞0，则
2
1
a
+
1
b
≤
ab
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，即两正数a，b的调和平均数不大于几何平均数不大于算术平均数不大于平方平均数．
    本题还可以两边先平方转化为二次函数的求最值的问题来解答．平方后得y2=3+2
x(3-x)
=2
-(x-
3
2
)2 +
9
4
，再利用二次函数的知识求解．
解答：解1：由已知函数的定义域为：[0，3]，有均值不等式可得：
x
+
3-x
2
≤
(
x
)2+(
3-x
)2
2
=
3
2
=
6
2
，
上式当且仅当
x
=
3-x
，即x=
3
2
时取“=”号，
因此有：y=
x
+
3-x
≤
6
，所以函数的最大值为：ymax=
6
．
解2：函数的定义域为：[0，3]，
所以y2=3+2
x(3-x)
=3+2
-(x-
3
2
)2 +
9
4
≤3+2
9
4
=6
所以3≤y2≤6，故
3
≤y≤
6

故答案为：
6
点评：本题考查函数的最值的求法，均值不等式的应用．考查转化与化归的数学思想方法．
练习册系列答案
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（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
函数y=x++3(x≤-)的最大值是(    )

A.               B.4                  C.-               D.-

函数y=
x
+
3-x
的最大值为 ______．

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