Question

已知△ABC的周长为6，依次为a，b，c，成等比数列．
（1）求证：
（2）求△ABC的面积S的最大值；
（3）求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）、根据题中已知条件求出a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可证明；
（2）、由（1）中所求得的角B的最大值，再根据题中条件求出b的取值范围，便可知当b=2，∠B=时三角形的面积最大；
（3）、利用余弦定理结合前面求得的a，b，c的关系便可求出关于b的表达式，然后根据b的取值范围求出的取值范围．
解答：解：（1）a+b+c=6，b²=ac，不妨设a≤b≤c，
由余弦定理得
故有，
（2）又，从而0＜b≤2．
∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，∴b＞，
∴＜b≤2；
所以，即
（3）所以
=
∵＜b≤2；
∴；
点评：本题考查了等比数列的基本性质以及三角函数的运用，考查了学生的计算能力和数列与三角函数的综合掌握，解题时注意转化思想的运用，属于中档题．