Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，BB₁=4，B₁H⊥平面A₁BC₁，垂足为H．
（Ⅰ） 求证：H为△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）求证：S2△A1B1C1=S△A1HC1•S△A1BC1（其中S△A1B1C1、S△A1HC1、S△A1BC1分别表示△A₁B₁C₁，△A₁HC₁，△A₁BC₁的面积）

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明BC₁⊥平面A₁BC₁，可得BC₁⊥A₁H，同理C₁H⊥A₁B，故可证H为△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）连接BH，并延长交A₁C₁于E，连接B₁E，则由射影定理可得B₁E²=EH×EB，由此可证结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵B₁H⊥平面A₁BC₁，BC₁?平面A₁BC₁，∴B₁H⊥BC₁，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面BC₁，∴A₁B₁⊥BC₁，
∵B₁H∩A₁B₁=B₁，∴BC₁⊥平面A₁B₁H，∴BC₁⊥A₁H，
同理C₁H⊥A₁B
∴H为△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）如图，连接BH，并延长交A₁C₁于E，连接B₁E，

则由射影定理可得B₁E²=EH×EB
∴

1

4

（A₁C₁）²B₁E²=

1

2

A₁C₁×EH×

1

2

A₁C₁×EB
∴S2△A1B1C1=S△A1HC1•S△A1BC1．

点评：本题考查线面垂直，考查射影定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．