Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．点A，B的极坐标分别为（2，π），(2

2

，

π

4

)，曲线C的参数方程为

x=sinα y=1+cos2α

(α为参数)．
（Ⅰ）求△AOB的面积；
（Ⅱ）求直线AB与曲线C的交点．

Answer 1

分析：（I）利用极坐标的含义，得到三角形的边长和角AOB，从而利用三角形的面积公式求出三角形面积即可．
（II）先消去参数方程中的参数得曲线C的普通方程；利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换将直角坐标化成极坐标，求出直线AB的方程，将直线AB方程代入曲线C的普通方程，即可求得曲线C与直线的交点坐标．

解答：解：（Ⅰ）解：S_△AOB=

1

2

×2×2

2

×sin135°=2-----------（2分）
（Ⅱ）在直角坐标系中A（-2，0），B（2，2），所以AB：x=2y-2----（3分）
直线C：y=2-x²，x∈[-1，1]，y∈[1，2]-----------------（5分）
联立得：2x²+x-2=0，解得：x=

-1± 17

4

（舍负），
得交点（

-1+ 17

4

，

7+ 17

8

）----（7分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．