Question

（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，侧棱长为t，点D₁关于点D的对称点为D₂，点C₁关于点C的对称点为C₂，点E、F分别在线段AD和BC上，且DE=BF=(0<<1).

(1)若，t=1，求直线D₂F与直线B₁C所成角。

（2）是否存在实数和t，使得平面EFD₂⊥平面A₁B₁CD？若存在，求出和t；若不存在，说明理由.

（3）若t=1，<<1,设直线C₂F与平面EFD₂所成角为，求证：..

Answer 1

解：在建立如图所示的坐标系中，

 A₁（1，0，0）  B₁（1，1，0）  C₁（0，1，0）  D₁（0，0，0）

A（1，0，t）   B（1，1，t）   C（0，1，t）   D（0，0，t）

E（λ，0，t）  F（1-λ，1，t） C₂（0，1，2t） D₂（0，0，2t）

=（1-λ，1，-t），=（-1，0，t）

（1）=（，1，-1），=（-1，0，1）

，

∴所成角………………………（3分）

（2）=（λ，0，-t），设平面EFD₂的法向量为（1，p，q）则

，∴，即=（1，2λ-1，）

易求平面A₁B₁CD的法向量为（1，0，），

∴·1+，∵，∴1+≠0，∴两平面不可能垂直. …………（6分）

（3）∵，，

∴.

令，则，，

当时，，

∴.………………………………………………（10分）