Question

【题目】如图， 是⊙的直径，点是的中点， 平面， ， ．

（）求证．

（）若点是平面内一动点，且，请在平面内，建立适当的坐标系，求出点的轨迹方程，并求出点在内的轨迹长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）首先由圆的性质可得，由平面易得，由线面垂直判定定理可得面，进而易得；（2）以点为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则， ，将用两点间距离公式可得的轨迹是圆，可求与轴正半轴， 轴正半轴坐标，进而可求，由弧长公式得结果.

试题解析：（）证明：∵为圆的直径， 在圆周上，∴，

∵平面， 面，∴，

∵，∴面，

∵面，∴，得证．

（）以点为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，

建立如图所示的直角坐标系，则， ．

设动点的坐标， ， ，

∴，

整理可得： ，∴的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

可求与轴正半轴， 轴正半轴坐标为， ．∴，

∴点在中轨迹长度．