Question

【题目】已知函数，其中，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当且时.

①若有两个极值点，（），求证：；

②若对任意的，都有成立，求正实数t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①证明见解析；②e.

【解析】

（1）将代入，求导后分类讨论即可求得单调区间；（2）①将代入，由题意可得，，表示出，再构造新函数，利用导数即可得证；②分，及两种情况讨论得解．

（1）当时，，

当时，在上是增函数；

当时，的单调递增区间是，，，递减区间是；

当时，的单调递增区间是，，递减区间是，.

（2），

①因为有两个极值点，（），故，而，故.

，是方程的两根，

所以.则.

设（），.

所以

②当.由①的极大值，

又的极小值（）随着的增大而减少，要使t取最大值.

则需的极小值，

又，所以，

得，.

当.在上是增函数，，所以.

综上t的最大值为e.