Question

已知函数f(x)＝ax³－3x²＋1－．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若曲线y＝f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：由题设知． 　　令． 　　当(ⅰ)a＞0时， 　　若，则，所以在区间上是增函数； 　　若，则，所以在区间上是减函数； 　　若，则，所以在区间上是增函数； 　　(ⅱ)当a＜0时， 　　若，则，所以在区间上是减函数； 　　若，则，所以在区间上是增函数； 　　若，则，所以在区间上是减函数． 　　(2)由(Ⅰ)的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，． 　　因为线段AB与x轴有公共点，所以． 　　即．所以． 　　故a． 　　解得－1≤a＜0或3≤a≤4． 　　即所求实数a的取值范围是[－1，0)∪[3，4]．