Question

已知x＞0,y＞0,求证:.

Answer 1

思路分析:利用乘方公式和不等式x²+y²≥2xy.

证法一:要证,

只要证(x²+y²)³＞(x³+y³)²,

即证x⁶+3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶＞x⁶+2x³y³+y⁶.

∵x＞0,y＞0,即证3x²+3y²＞2xy.

∵3x²+3y²＞x²+y²≥2xy,

即3x²+3y²＞2xy.

∴.

以上证法显然是分析法.

倒着写回去就是综合法.

证法二:由x＞0,y＞0,

∴3x²+3y²＞x²+y²≥2xy,

即3(x²+y²)x²y²＞2xy·x²y².

∴3x⁴y²+3x²y⁴＞2x³y³.

两边都加上x⁶+y⁶,得

x⁶+y⁶+3x⁴y²+3x²y⁴＞x⁶+y⁶+2x³y³,

即(x²+y²)³＞(x³+y³)².

两边开6次方得.