题目内容
已知数列{an}满足
．（1）求证：数列
是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）设
，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对任意的n∈N*，有
成立．
【答案】分析：（1）根据等比数列的定义，要证明数列
是等比数列，只需证明[
]：[
]=常数，将题设中给出的递推式变形整理即可．
（2）利用
，结合（1）中的结论，表示出bn，进而写出Tn，再利用放缩法求解即可．
解答：解：（1）由2an+an-1=（-1）nan•an-1
得
∴
又∵
∴数列
是首项为3，公比为-2的等比数列，
从而
即
；
（2）∵
∴
=
=
．
点评：（1）本题紧扣等比数列的定义而解，注意对已知递推式的变形；
（2）主要考查了数列知识和解不等式的综合运用，注意放缩法的使用．
是等比数列，只需证明[
]：[
]=常数，将题设中给出的递推式变形整理即可．（2）利用
，结合（1）中的结论，表示出bn，进而写出Tn，再利用放缩法求解即可．解答：解：（1）由2an+an-1=（-1）nan•an-1
得
∴
又∵
∴数列
是首项为3，公比为-2的等比数列，从而
即
；（2）∵
∴
=
=
．点评：（1）本题紧扣等比数列的定义而解，注意对已知递推式的变形；
（2）主要考查了数列知识和解不等式的综合运用，注意放缩法的使用．
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